作者：Rily
链接：https://www.zhihu.com/question/27494328/answer/765925792
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
 

2019四川高考数学144，5分粗心1分步骤。（抱歉我不切题，我是理科生QAQ，不过数学的东西文理通用吧）

高三一年从110+提高到最高150。

我以前就是那种典型的基础不错，压轴很弱的学生，高一高二一直处于瓶颈期，终于高三我下定决心恶补数学了，通过做题和思考，掌握了很多技巧。

这里包括刷题的方法，还有高中数学里老师不会明讲但是你必须自己去研究的东西，以及一些用于满分冲刺的解题捷径。（里面有一些仅适合理科生，但大部分文理科通用）

我先来讲讲怎么刷题。在这方面我颇有心得。首先我并不认为高考数学是个套路的东西。我高考完后在做一套俄罗斯数学家编著的数学分析习题叫《吉米多维奇数学分析习题集》，也是用高中刷题的方法，寥寥几道题就补充了大量的知识。所以说你现在在数学学习上积累的东西很有可能在大学里有力地帮助你攻克难关。（当然我还没上大学也不知道哈…）

刷题内容分为三种，一种是突破专题，一种是挑战难题，一种是刷基础保底。

专题突破：（我主要薄弱的就是导数和圆锥曲线）

你首先需要一本系统的，高质量的习题集。

我高三用完觉得好用的资料：

导数就是《试题调研第一辑》和《学而思导数秘籍》。但是注意！两者的解析都不太好。我还没有遇到解析质量好的导数题集，但是没关系，自己分析照样能收获很多。（这个之后讲）

圆锥曲线就是《浙大优学：7天搞定高中解析几何》和《试题调研》。对于前者：讲解非常好，适用于基础很好需要提高数学能力的同学，里面有很多二手结论，拓展知识，一题多解什么的，虽然排版很烂选题也很老，但是精华很多！对于后者，解析并不好，但就和前面说的一样，自己分析同样能收获很多。

挑战难题：

买套卷，专做选择题11.12和填空题15.16还有圆锥曲线和导数。努力做到五分钟解决一道小题二十分钟解决一道大题。定好时间。这个可以在考前实行。

基础保底：

实际上如果不重视这一块的话，高考很容易吃亏啊！像是我做2019三卷那么简单的题居然没得满分。适合考试前刷，要是有错的一定要总结错因，列成一个单子，考试前提醒自己哪些粗心易错的点需要注意。

好了，接下来就是如何刷题：

我又把刷题方法定为两种：定时刷和不定时刷。前者意在提高应试能力，后者意在提高数学能力。

定时刷：每天找个固定时间训练自己。一定时间内做对了就成功，做错了或超时了或不会做就视为失败。错了的题就做好总结，对于不会的题要不要弄懂其实并不重要，也可以时间一到就丢开。毕竟只是为了提升速度。

也可以给自己来一点小惩罚，比如失败多少题以上本周不许吃零食什么的。

不定时刷：（其实主要就是专题突破了）

首先！！一定要端正态度！！抱着用生命学习数学的心态！！看我的做题本：

7实在是找不到了……

然后翻开一本习题集，从第一题开始做，挨着做。在草稿本上写下页码题号，然后写步骤，要打草稿就画个框框打在里面。你的一本草稿本要包含你的全部解题思路！！不会做就一遍一遍反复，尝试遍各种方法，努力思考，直到真的穷尽一切了。要是这样还不会的话，再来看解析。（关于如何看解析：一点一点看，不要一次性看完，把解析当做过程中的提示）

我拍一下我解某题的过程：

开开心心地写下步骤

中途卡壳了再来一遍

我怒了！！！再来一遍！！！

算了三遍终于对了，最后做做总结

看，大体上就是这个样子。不要害怕重复，如果算到某一步卡壳了，回望前面的步骤，从开始含糊的那一步起重新算。整道题重新算也没有关系。

这样有什么好处呢？我们知道计算在高考数学大题里占很重要的地位，很多同学圆锥曲线导数做不出来就是因为计算算着算着就出现奇怪的东西了，时间也没有了耐心也没有了，最后放弃。而这样把所有的步骤，草稿，想法全部写下来，有助于清晰思路，培养耐心，提高专注度。让你的计算错误率大大下降，同时还能积累到重要的计算技巧。另外这样做也方便复习。复习过程中回顾你走过的思维误区，一遍一遍强化，最后刻在脑海里。

我还做了哪些事？图中我们可以看到，我用橙色的笔做了一些批注，其实这都是做题或是看解析过程中的灵感。做题时不管多么飘渺的想法统统写下来，哪怕是几句吐槽。

再来一些批注作为例子：

自己的问题

想要单独研究的问题

巨型吐槽2333这题计算贼恶心了

然后还要做什么呢？

总结！

简洁明了的步骤，数学思维，计算技巧等等都可以作为总结。做题多了自然能够分辨哪些题质量好，把其中某一道题作为例子，总结出对自己实用的笔记来。

除了上课的笔记，我有一个专门的数学思维笔记。平时记录一些玄妙的东西。

高中数学有哪些玄妙？

第一个就是计算！！一再强调的计算！！（当然，我说的计算包含各种式子的运算转化和数值计算等等）高中老师不会教你特定的计算技巧，最多在讲题时给你强调一下。一切都要自己总结。

计算到底难在哪里？它不被明说，有时却能成为解题的关键，比如某个式子你没化简也许这题就没法解。还有你们在看解析时也会常常感叹：卧槽这一步打死我也想不到啊！不用打死，只要多总结，一切都不在话下。

我放个笔记图片：

你看，刷题只是个发现真理的途径。你通过刷题总结出来的东西，才是核心。

玄妙之二：数学的本质

我很喜欢研究这方面的东西。灵感也大多来自于刷题。当然说“本质”有点太狂妄了……就是一些自己的胡思乱想吧。但是凡想学好一门学科，思考其“本质”是必须的！！

放个笔记：

还有

这什么乱七八糟的 没关系，再幼稚的东西，研究着开心就行

玄妙之三：步骤！！

要是因为步骤扣分太不值得了，而这个也是需要长时间研究内化的。选择你刷题时认为好的解答，抄写下来在步步分析吧。

这个用在导数题上尤为适用！！因为导数时常需要讨论，而复杂的不确定项往往会导致思路混乱。对解题步骤的研究不仅仅是教你规范答题，更是教你如何清晰思路。拿我的图为例，我发现以图像为切入点可以更好地找到讨论的分类。

再一个例子：

以上这个题我真的服啊！！出题人也是牛逼！！

下面我用一道题来还原整个做题的过程

这道题特别难，大家可以先尝试一下第一题。（数列题现在难度降低了，高考不会遇到像第二问这么难的，这里只用第一题作为例子）

先读完题。

好像找不到下手的地方？？这什么鬼啊？？

不行冷静一下，一定有破题点。

先看题干条件。第一个无疑是告诉数列前两项，第二个这么一大坨东西一定有玄妙。

数列里这个数列角标，以前遇到过的题里面，就是用来凑数的，于是我尝试着写下：

哎？？好像可以！！a1a2不是都告诉了嘛，直接带进去化简~这里还比较顺畅~

到这里了……又卡住了……没有学过类似的化简啊……这个时候失去了一切方向。

（过了一会儿）

不行不行，我一定要把它做出来。但是那一步真的毫无头绪啊！！我偷偷瞟一眼答案

瞟到了这个式子

哇！！那就是我的式子啊！！它居然化成了一个等比数列！！

回想我们学过的那几个数列求递推公式的形式，好像都是要么是等差要么是等比哎！！

这个时候你就领悟到了一个重要的东西：数列的最基本形式就是等差和等比，一切复杂的递推都可以往这两个方面凑！！（并不一定正确，但这就是我领悟到的）（赶紧用红笔在一旁标注上来）

不过……这个式子怎么凑出来的啊……考试的时候我可不知道要怎么去凑啊……

遇到神奇的步骤，一定要联想自己在考试时是否也能做出来，如果可以，你算是掌握这个步骤了。

不过我有方向了啊！就是往等差等比上凑嘛。

（经过一番努力）

卧槽这个凑等比也太难了！谁知道去加一减一啊！！

能不能换一种凑法？往等差上凑？

然后一边写一边还做好标注

嘿嘿，感觉良好~

继续化简，划出了这么个东西

卧槽！！出现了！！用代换法！！！把相似的那一大坨代换为新的数列bn！！

这一步还想了半天，接下来也很简单了。就是课内的方法算出了bn，然后当然可以算出an

一看答案对了~

到这里当然还没完，你还没看解析呢！

我把它叫做“标答研究”，研究计算、思维和步骤

这一步自然感觉好难……要不求助求助别人

大概需要问老师问同学的时候就是这里了。要去求助别人，一定要先经过自己的思考！！

把问题发在网上

（一天后）

收到回复了！原来这不是无凭无据的！是一个叫做“不动点”的知识！居然没有学过耶！

但是鉴于现在数列没有那么难了，就只记住不动点公式就好了。

你看，我做一道题经历了这么多。先是毫无头绪，后来领悟了方向，还另辟蹊径做出了和解答不同的方法，最后还收获了新的知识点！刷题的妙处不言而喻。

好了刷题方面想到了再写吧……

看我本子上奇奇怪怪的标语：（我想说的是，学习数学真的很好玩啊！！）

接下来是如何精进~

在高考数学上我掌握了许多捷径，这些基本是超纲知识，但是能够极大的帮助高考。

来说几个：

1.向量叉乘~（文科生不学空间向量，法向量部分可以不用看，但是看下它的几何意义）

这个太棒了，秒解法向量。而且我们这边立体几何大题用叉乘不扣分！！随便用啊！！别人写一堆方程，我草稿纸上挥挥就出来了啊！！遇到要算好几个法向量的题也不会烦啊！！我还顺便自学了简单的空间解析几何。我这里简单说一下：

在你需要去寻找法向量的面里任意找两个不共线的向量a和b（加粗讲究嘿嘿），它们的空间坐标如图。向量叉乘满足：

由其几何意义可知，如果知道一个三角形两条边对应的向量，就可以求到该三角形的面积。这个在椭圆题里求三角形面积非常方便，不用再去找什么底和高，还分割成几个三角形什么的。简单说明下：

对不起我犯错了，最后那个式子加个绝对值……

代数意义其实满足行列式计算，行列式是啥你不用搞懂，那是线性代数相关的东西，要是感兴趣同济大学微积分下册里就有。

而向量叉乘实际上乘出来是一个向量，设为m，m与a和b都垂直，其满足右手定则：

这不就满足法向量嘛！！计算过程我再贴心地演示一遍：

另插：如果掌握叉乘，物理上面许多公式也非常好理解！！！像是电磁相关，你们还去比左手右手，我都用右手嘿嘿！！

几乎都有矢量式！！

2.仿射变换

这个是我自己发现的大宝贝啊！！简单来说就是坐标系的伸缩变化，可以把椭圆变成圆，从而简化很多问题。网上有许多关于这个的论文。如果运气好遇到适用的题目了，毫不夸张的说：两分钟解决椭圆题！！！如果步骤不允许的话，也可以用来检验答案。我这里简单说一下：

椭圆里不是有一个结论嘛：

你看你做一个变换：把椭圆变成圆：

不就是个直角嘛！这个结论是不是超级好理解！！！

这个变换可以用来解决：面积，斜率，线段比等问题。有兴趣自行研究~

我举几个题大家看看：

大家可以尝试一下这道题的通常做法和我的做法的对比。我这个做法是我自己发明的，考试时有幸满分了。

字丑………

3.洛必达法则

这个好多高中老师也会讲。用熟了也贼棒~我就只搬个定理吧（并不像书上的定理那么严谨，我不管了只要会算就好）

背面的东西请忽略~

4.偏导数

这个虽然算是微积分中比较深的知识，但是简单的计算一学就会。关键是我还真遇到了好几道用偏导数秒解的数学压轴题！！原题解析写了一页，我两分钟搞定！！贼爽啊！！只写个计算方法（二元函数为例），别的你们大学去学吧。

贼简单~

偏导数在高中题里的话主要用于解决两个以上变量函数的最值问题。但是要注意定义域什么的。

5.泰勒公式

老生常谈的东西了。许多重点学校也会讲。但是能用它解决的问题不算多，碰到了算好运。泰勒展开式有点长大家自己去搜吧，我这里举个实例：

这道题看起来小清新，实际上用常规方法非常繁琐，大家可以先做一下。

用geogebra证明它有多变态

这种单纯大于的题一般都很难做

下面讲泰勒展开法：

6.隐函数求导

这个用于求椭圆切线非常简单。隐函数就是f（x,y）=0，也就是x和y都在同一边。这个时候对等式左边使用求导法则，但是注意把y作为一个复合函数，也就是说求完导还要乘上y'：

其他的想到再补充了。

------------------------有几个没说清楚的点-------------

根据评论和私信的问题：

1.这样做会花费大量的时间吗？

我高三决定恶补数学所以花的时间确实挺多，但是按各科时间比例算还是比较合理。主要是因为高三整体学习时间都增加了。而且看着本子多，实际上里面复杂的题目要写好几页，所以题目并不多。

2.这样做不会很烦吗？

一开始确实烦，我本来是对不愿做的事无法专注的人，结果这么闷着脑子重复反倒是莫名其妙坚持下来了 ，可能是因为一道题花了九牛二虎依靠自己拼命思考终于疏通了的感觉特爽。而且我之所以做这么繁琐的工作一是为了克服学数学的烦躁心理，二是为了同时训练如何提升写草稿的速度的同时还能保持思维清晰，通常一道题做着做着又重写都是为了重新梳理思路，三是复习的时候可以回顾自己走过的弯路。后来做数学题就是一做就对了…

3.做完老师布置的作业就够花时间了怎么办？

老师布置的作业确实有时候不适合自己，我觉得就是怎么利于自己怎么来。要真的完全没有自己复习的效果好丢了都行。毕竟高考是自己在考。

4.发一下本子？

我不知道你说的是什么本子啊……我整个数学学习用的本子：

一是课堂笔记本子，记录知识点，公式推导过程和典型例题，那个大家都能记录好。

二是我说的那个思维笔记，记录一些比较玄学的东西，基本是做题思路和深化理解某知识点比如函数。

三是在我领悟之前用的草稿本，就是草稿本，横七竖八的计算式，有时候还有涂鸦。后来我再也不这么干了。要避免计算错误，起码草稿要写工整。

四是专题总结，比如组合数的运算有点问题，就集中地列举证明再给点例题，相当于对课堂笔记的补充。

五就是那八本做题本，我确实在回答里说的不清楚哈……

1.那八个本子就是做题用的本子，啥题都写，主要是图方便，还有我写完一本顺便就当错题本了，翻阅的时候可以依据批注数量重点复习，特别是考试前对于那些做时写了几大篇批注非常详细的题一定要再做，每次大考前都做，直到觉得真的没必要做了。“专项复习”的目的主要是让自己对一个大块的知识加深理解和提高做题熟练度，收获的东西都到脑子里了，所以错题分不分类也没什么关系。

最后…………

大家行行好给个赞吧（小声）

免责声明：本文来自知乎客户端，不代表超天才网的观点和立场。文章及图片来源网络，版权归作者所有，如有投诉请联系删除。